APLIKASI PENALARAN DEDUKTIF DALAM PEMBUKTIAN GEOMETRI

Bismillahirrahmanirrahim,,,

Halo semuanyaa,,, kali ini saya akan memposting sebuah artikel tentang matematika buatan saya yang sebenarnya bukan buatan saya, karena saya cuma menyusunnya dari buku buku,, hehe,, judulnya adalah APLIKASI PENALARAN DEDUKTIF DALAM PEMBUKTIAN GEOMETRI,, meskipun cuma copas,, semoga bisa bermanfaat bagi yang membacanya,,,

Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim  Malang

ABSTRAK: Penalaran deduktif adalah metode berpikir yang menggunakan hal-hal yang umum terlebih dahulu dan kemudian dihubungkan dengan bagian-bagiannya yang khusus. Cara membuktikan teorema dalam geometri ada 6 prosedur yaitu: (1) teorema dibagi menjadi dua bagian yaitu hipotesisnya dan kesimpulannya, (2) buat sebuah diagram. Tanda-tanda pada diagram tersebut memakai simbol-simbol yang bisa mempermudah pembuktian, (3) nyatakan apa yang diketahui dan apa yang akan dibuktikan, (4) buatlah rencana yang akan digunakan dalam pembuktian, (5) di sebelah kiri tulislah pernyataan sesuai dengan nomor tahap yang berurutan, (6) di sebelah kanan, berikan alasan untuk setiap pernyataan. Alasan yang bisa diterima dalam pembuktian teorema adalah fakta-fakta, definisi, postulat, teorema asumsi, dan teorema yang sudah dibuktikan sebelumnya, yang sudah diketahui.

Kata kunci: penalaran, metode deduktif, pembuktian teorema, geometri.

            Dalam Matematika ada banyak sekali cabang ilmunya salah satunya yaitu geometri. Dalam geometri kita mempelajari bagaimana cara kita untuk membuktikan sebuah dalil, postulat, atau teorema. Dalam membuktikan geometri kita tidak boleh menjadikan pengukuran, observasi, atau eksperimen sebagai bukti, karena itu masih bersifat relatif. Ada banyak macam cara untuk membuktikan geometri, salah satunya ialah dengan memakai penalaran deduktif atau induktif. Dengan pembuktian yang memakai penalaran kita dituntut untuk berpikir secara rasional dan logis, sehingga bisa menyimpulkan secara benar atau dianggap benar. Pembuktian yang menggunakan penalaran deduktif akan diketahui secara pasti tentang kebenaran suatu dalil, postulat, atau teorema. Dalam artikel ini akan dibahas apa itu penalaran deduktif, apa itu pembuktian geometri, dan bagaimana cara mengaplikasikan penalaran deduktif dalam pembuktian geometri.

PENALARAN

            Menurut Wikipedia (2013) penalaran adalah “proses berpikir yang bertolak dari pengamatan indera (pengamatan empirik) yang menghasilkan sejumlah konsep dan pengertian”. Berdasarkan pengamatan yang sejenis juga akan terbentuk proposisi – proposisi yang sejenis, berdasarkan sejumlah proposisi yang diketahui atau dianggap benar, orang menyimpulkan sebuah proposisi baru yang sebelumnya tidak diketahui. Proses inilah yang disebut menalar.

            Dalam penalaran, proposisi yang dijadikan dasar penyimpulan disebut dengan premis (antesedens) dan hasil kesimpulannya disebut dengan konklusi (consequence). Hubungan antara premis dan konklusi disebut konsekuensi.

            Dalam menalar terdapat dua metode penalaran, yaitu metode induktif dan metode deduktif. Secara singkat metode deduktif adalah mengambil kesimpulan dari umum menuju kesimpulan yang khusus, sedangkan induktif adalah sebaliknya.

Metode Induktif

            Metode induktif adalah “metode yang digunakan dalam berpikir dengan bertolak dari hal-hal khusus ke umum. Hukum yang disimpulkan di fenomena yang diselidiki berlaku bagi fenomena sejenis yang belum diteliti” (Wikipedia, 2013). Contoh:

  Sapi Magelang berkaki empat.

  Sapi Batu berkaki empat.

  Sapi Jombang berkaki empat.

  Sapi Madura berkaki empat.

∴ Semua sapi berkaki empat.

  Jika 2 bilangan genap, maka akan habis dibagi 2

  Jika 4 bilangan genap, maka akan habis dibagi 2

  Jika 6 bilangan genap, maka akan habis dibagi 2

  Jika 8 bilangan genap, maka akan habis dibagi 2

∴ Jika sebuah bilangan adalah bilangan genap, maka bilangan tersebut habis dibagi 2

Metode Deduktif

            Metode deduktif adalah kebalikan dari metode induktif, yaitu metode berpikir yang menggunakan hal-hal yang umum terlebih dahulu dan kemudian dihubungkan dengan bagian-bagiannya yang khusus (Wikipedia, 2013). Metode inilah yang digunakan sebagai pembuktian dalam kebanyakan cabang ilmu Matematika khususnya pada Geometri.

            Dengan menggunakan penalaran deduktif, maka bisa diambil kesimpulan yang benar atau dianggap benar dari pernyataan yang benar atau dianggap benar. Rich (2004: 15) mengatakan bahwa dalam penalaran deduktif ada tiga langkah, yaitu:

1.      Membuat pernyataan umum, yang mengacu pada keseluruhan himpunan atau kelas benda, pernyataan ini disebut premis mayor.

2.      Membuat pernyataan khusus tentang satu atau beberapa anggota himpunan atau kelas yang mengacu pada pernyataan umum, pernyataan ini disebut premis minor.

3.      Membuat deduksi yang dilakukan secara logis ketika pernyataan umum diterapkan pada pernyataan khusus. Contoh:

   Semua sapi adalah hewan berkaki empat.

   Semua limousin adalah sapi.

∴ Semua limousin adalah hewan berkaki empat

   Semua sudut yang besarnya < 90^o adalah sudut lancip

   Sudut A besarnya 60^o.

∴ Sudut A adalah sudut lancip.

PENALARAN DEDUKTIF DALAM GEOMETRI

            Istilah dan pernyataan yang dibahas dalam bab ini merangkum struktur deduktif dalam geometri. Geometri dimulai dari asumsi yang berupa aksioma atau postulat yang dianggap benar, kemudian dengan menggunakan penalaran deduktif bisa dipakai untuk membuktikan teorema-teorema yang belum terbukti menjadi teorema yang terbukti dan disebut dalil. Bisa juga dimulai dari suatu istilah baik yang bisa didefinisikan atau tidak didefinisikan menjadi sebuah teorema baru yang terbukti.

Istilah yang Didefinisikan dan Istilah yang Tidak Didefinisikan

            Titik, garis dan permukaan adalah istilah-istilah yang, menurut kesepakatan, tidak didefinisikan. Istilah-istilah takterdefinisikan ini memulai proses definisi dalam geometri, dan mendasari definisi semua istilah geometri lainnya. Dalam hal ini Rich (2004: 17) menggambarkan tentang istilah yang didefinisikan dan istilah yang tidak didefinisikan sebagai berikut:

Kita dapat mendefinisikan segitiga dalam istilah poligon, poligon dalam istilah bentuk geometrik, dan bentuk geometrik dalam istilah suatu bentuk yang tersusun oleh ruas-ruas garis, atau bagian-bagian garis. Namun demikian, proses definisi tidak dapat diteruskan lebih lanjut karena istilah “garis” tidak di definisikan.

Asumsi (Aksioma dan Postulat)

            Keseluruhan struktur pembuktian dalam geometri terletak pada, atau dimulai dengan,beberapa pernyataan umum yang tidak dibuktikan yang disebut postulat. Postulat adalah pernyataan-pernyataan yang harus kita anggap atau terima sebagai kebenaran agar kita bisa mendeduksi pernyataan yang lain (Rich, 2004: 18).

            Contoh postulat yang paling sederhana adalah yang berbunyi “ satu dan hanya satu garis lurus yang dapat dibuat melalui dua titik”. Meskipun postulat ini tidak dibuktikan maka harus dianggap kalau postulat ini adalah benar, dan dari inilah teorema-teorema lain bisa dibuktikan dengan penalaran deduktif.

            Ketika kita menggambar satu ruas garis antara dua titik, kita membenarkan hal ini dengan menggunakan postulat “dua titik menentukan satu dan hanya satu garis lurus” sebagai alasannya. Alasan ini merupakan suatu asumsi karena kita menganggapnya benar walaupun tanpa pembuktian lebih lanjut.

Teorema

            Teorema adalah pernyataan yang dibuktikan dalam geometri. Dengan menggunakan definisi dan asumsi sebagai alasan, kita mendeduksi atau membuktikan teorema-teorema dasar. Begitu kita menggunakan setiap teorema baru untuk membuktikan lebih banyak teorema lagi, proses deduksi akan terus berkembang. Namun demikian, jika suatu teorema baru digunakan untuk membuktikan teorema sebelumnya, urutan logika akan menjadi tidak sistematis (Rich, 2004: 22).

            Teorema “jumlah ukuran sudut-sudut suat segeitiga sama dengan 180^○” digunakan untuk membuktikan “jumlah ukuran sudut-sudut suat pentagon adalah 540”. Selanjutnya, hal ini membuat kita bisa membuktikan bahwa “setiap sudut suat pentagon beraturan berukuran 108^○”. Namun demikian, urutan logika akan menjadi kacau jika kita mencoba untuk menggunakan teorema terakhir untuk membuktikan teorema yang pertama atau teorema yang kedua.

Membuktikan Teorema

            Seperti yang telah kita ketahui bahwa teorema merupakan pengembangan dari sebuah postulat, oleh karena itu kita yang belum dari postulat mana teorema itu dikembangkan maka kita perlu untuk membuktikannya. Berikut ini adalah prosedur pembuktian teorema dengan penalaran deduktif:

1.      Teorema dibagi menjadi dua bagian yaitu hipotesisnya (apa yang diketahui) dan kesimpulannya (yang akan dibuktikan).

2.      Buat sebuah diagram. Tanda-tanda pada diagram tersebut memakai simbol-simbol yang bisa mempermudah pembuktian.

3.      Nyatakan apa yang diketahui dan apa yang akan dibuktikan.

4.      Buatlah rencana yang akan digunakan dalam pembuktian

5.      Di sebelah kiri tulislah pernyataan sesuai dengan nomor tahap yang berurutan. Pernyataan terakhir harus berupa pernyataan yang akan dibuktikan.

6.      Di sebelah kanan, berikan alasan untuk setiap pernyataan. Alasan yang bisa diterima dalam pembuktian teorema adalah fakta-fakta, definisi, postulat, teorema asumsi (teorema yang dianggap benar, dan teorema yang sudah dibuktikan sebelumnya) yang sudah diketahui (Rich, 2004: 25)

            Berikut ini adalah contoh dari pembuktian teorema:

Tahap 1:          Buktikan:        Semua sudut siku-siku berukuran sama

Tahap 2:          Diketahui:       ∠A dan ∠B adalah ∠sk.

Tahap 3:          Untuk Pembuktian: m∠A = m∠B

Tahap 4:          Rencana: Karena setiap sudut sama dengan 90, sudut-sudut                                                 tersebut berukuran sama, dengan menggunakan postulat “bilangan-bilangan yang sama dengan suat bilangan yang sama adalah sama satu sama lain".

Tahap 5 dan 6

Pernyataan	Alasan
1.      ∠A dan ∠B adalah ∠sk	1.      Diketahui.
2.      m∠A dan m∠B masing-masing 90○	2.      m(∠sk) = 90○
3.      m∠A = m∠B	3.   Bilangan-bilangan = suat bilangan yang sama = satu sama lain

PENUTUP

Kesimpulan

            Penalaran adalah proses berpikir yang bertolak dari pengamatan indera (pengamatan empirik) yang menghasilkan sejumlah konsep dan pengertian. Dalam menalar terdapat dua metode penalaran, yaitu metode induktif dan metode deduktif. Metode induktif adalah metode yang digunakan dalam berpikir dengan bertolak dari hal-hal khusus ke umum. Metode deduktif adalah metode berpikir yang menggunakan hal-hal yang umum terlebih dahulu dan kemudian dihubungkan dengan bagian-bagiannya yang khusus.

            Geometri dimulai dari asumsi yang berupa aksioma atau postulat yang dianggap benar, kemudian dengan menggunakan penalaran deduktif bisa dipakai untuk membuktikan teorema-teorema yang belum terbukti menjadi teorema yang terbukti dan disebut dalil. Postulat adalah pernyataan-pernyataan yang harus kita anggap atau terima sebagai kebenaran agar kita bisa mendeduksi pernyataan yang lain. Teorema adalah pernyataan yang dibuktikan dalam geometri. Dengan menggunakan definisi dan asumsi sebagai alasan, kita mendeduksi atau membuktikan teorema-teorema dasar. Begitu kita menggunakan setiap teorema baru untuk membuktikan lebih banyak teorema lagi, proses deduksi akan terus berkembang.

            Cara membuktikan teorema dalam geometri ada 6 prosedur yaitu: (1) teorema dibagi menjadi dua bagian yaitu hipotesisnya dan kesimpulannya, (2) buat sebuah diagram. Tanda-tanda pada diagram tersebut memakai simbol-simbol yang bisa mempermudah pembuktian, (3) nyatakan apa yang diketahui dan apa yang akan dibuktikan, (4) buatlah rencana yang akan digunakan dalam pembuktian, (5) di sebelah kiri tulislah pernyataan sesuai dengan nomor tahap yang berurutan, (6) di sebelah kanan, berikan alasan untuk setiap pernyataan. Alasan yang bisa diterima dalam pembuktian teorema adalah fakta-fakta, definisi, postulat, teorema asumsi, dan teorema yang sudah dibuktikan sebelumnya, yang sudah diketahui.

Saran

            Berdasarkan kesimpulan di atas, maka saran yang diajukan dirumuskan sebagai berikut. Disarankan agar tidak menggunakan teorema atau dalil yang belum dibuktikan sebagai alasan dalam pembuktian. Apabila membuktikan suatu teorema dengan teorema yang sudah terbukti, sebaiknya menggunakan teorema yang sudah dibuktikan tersebut sebagai alasan tanpa membuktikan ulang, dari itu disarankan agar orang yang membuktikan sudah hafal terhadap teorema-teorema sebelumnya yang sudah dibuktikan. Dan bila sudah terbiasa membuktikan teorema dengan teorema yang sudah dibuktikan disarankan untuk tidak melupakan alasan-alasan pembuktian teorema yang sudah dibuktikan sebelumnya tersebut.

DAFTAR RUJUKAN

Rich, B. 2004. Geometri Schaum’s Easy Outlines. Jakarta: Penerbit Erlangga

Wikipedia. 2013. Penalaran, (Online), (http://id.wikipedia.org/wiki/Penalaran), diakses 11 April 2013.

Wikipedia. 2013. Teorema, (Online), (http://id.wikipedia.org/wiki/Teorema), diakses 11 April 2013.